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一、基础知识总结
（一）基础知识框图表解
（二）知识纲要
集合的概念、集合的包含关系、集合的运算．
绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法．
命题、四种命题、四种命题间的关系．
充分条件与必要条件．
（三）运用知识、运用方法过程中应注意的主要问题
1、正确理解集合的概念必须掌握构成集合的两个必要条件：研究对象是具体的，其属性是确定的．
2、在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”．
3、在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质．
4、对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式 中，易漏掉 的情况．
5、若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之．
6、若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏．
7、解不等式的基本思想是化归、转化，解含有参数的不等式常需要分类讨论，同解变形是解不等式的理论依据．
8、学习四种命题，关键是理解命题结构及逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，掌握四种命题间的关系是学习充要条件的基础．
9、基本的逻辑知识是认识问题和研究问题不可缺少的工具，是我们进行学习、掌握和使用语言的基础，数学又是逻辑性很强的学科，因此，学习一些逻辑知识是非常必要的，通过学习和训练可以规范和提高推理的技能，发展思维能力．重点是正确使用逻辑联结词“或”、“且”、“非”，是否使用得当的依据是真值表，利用真值表再结合四种命题的充要条件可判定复合命题的真假性．注意区别一些易错的逻辑关系，如“都是”、“都不是”、“不都是”．
二、在学习和运用集合知识的过程中，须注意的几个问题
目前在中学数学教学中，集合知识主要有两方面的应用．
1、把集合作为一种数学语言，以表达一定范围或具有某些特性的元素．例如，方程（或方程组）的解集，不等式（或不等式组）的解集，具有某种性质或满足某些条件的数集、点集、向量集（以后会学）等，因集合元素的任意性，使得集合语言有着广泛的应用性．
2、使用集合间的运算法则或运算思想，解决某些逻辑关系较复杂的问题．例如，运用集合法判断真假复合命题和充要条件，运用集合的交集思想、并集思想、补集思想解题等．
集合是重要的基础知识，必须认真学好，真正搞懂、弄通，做到学会、会用．
下面就学习和运用集合知识过程中，须注意的几个问题作为专题予以讲解．
（一）要注意理解、正确运用集合概念
[例1] 已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）
A．（0，1），（1，2）
B．{（0，1），（1，2）}
C．{y|y=1,或y=2}
D．{y|y≥1}
分析：
集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．
[例2] 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（ ）
A．P B．Q
C． D．不知道
分析：
类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y= x2＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q意义就明确了．
[解答]
[例3] 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（ ）
A．P∩Q= B．P Q
C．P=Q D．P Q
分析：
有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物．
[解答]
[例4] 给出下面各种关系：
①0 {0} ②0∈{0}
③∈{} ④a∈{a}
⑤={0} ⑥{0}∈
⑦∈{0} ⑧{0}
其中正确的是（ ）
A．②③④⑧ B．①②④⑤
C．②③④⑥ D．②③④⑦
分析:依次判断每个关系是否正确,可运用排除法筛选.
[解答与点评]
（二）要充分注意集合元素的互异性
集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．
[例5] 若A={2，4,a3－2a2－a＋7},B={1,a＋1,a2－2a＋2,－ (a2－3a－8),a3＋a2＋3a＋7}，且A∩B={2，5}，试求实数a的值．
[解答]
[例6] 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．
分析：
要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．
[解答与点评]
[例7] 已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－ax＋a－1=0}，且A∪B=A，则a的值为________．
分析：由A∪B=A 而推出B有四种可能，进而求出a的值．
（三）要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法
集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．
反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．
[例8] 设集合A={a|a=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，试判断集合A、B的关系．
[例9] 设集合A={a|a=n2＋1,n∈N*}，集合B={b|b=k2－4k＋5,k∈N*}，试证：A B．
[解答与点评]
（四）要注意空集的特殊性和特殊作用
空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．
[例10] 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．
[解答]
[例11] 已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，则实数m的取值范围是_________．
分析：
从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩R＋=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围．
[解答与点评]
[例12] 已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若B A，求实数p的取值范围．
[解答与点评]
（五）要注意集合语言与其它数学语言互译的准确性
事实上，各种数学语言形态间的互译，可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题的解决途径，因而这种互译是我们在解题过程中常常必须做的事情．
对于用集合语言叙述的问题，求解时往往需要转译成一般的代数语言或几何语言．
[例13] 已知集合 有唯一元素，用列举法表示a的值构成的集合A．
[解答与点评]
[例14] 设a,b∈R,A={(x,y)|x=n,y=na＋b,n∈Z},B={(x,y)|x=m,y=3(m2＋5),m∈Z},C={(x,y)|x2＋y2≤144}是平面xoy内的点集，问是否存在实数a和b使得(1)A∩B≠,(2)(a,b)∈C同时成立？
分析：解决此题的关键是集合语言向非集合数学语言转化，将隐晦的数学含义显露出来．
[解答与点评]
（六）要注意数形结合解集合问题
集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．
[例15] 设全集U={x|0<x<10,x∈N*}，若A∩B={3}，A∩CUB={1，5，7}，CUA∩CUB={9}，求A、B．
分析：本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出．
[解答]
[例16] 集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B．
[解答与点评]
[例17] 设A={x|－2<x<－1，或x>1}，B={x|x2＋ax＋b≤0}，已知A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1<x≤3}，试求a、b的值．
分析：可在数轴上画出图形，利用图形分析解答．
[解答与点评]
（七）要注意交集思想、并集思想、补集思想的运用
对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知与未知的关系，这样能起到反难为易，化隐为显，从而将问题得以解决，这就是“正难则反”的解题策略，是补集思想的具体应用．
有的问题，根据问题具体情况，也可采用交集思想、并集思想去处理．
[例18] 已知集合A={x|x2－4mx＋2m＋6=0,x∈R}，若A∩R－≠，求实数m的取值范围．
分析：
集合A是方程x2－4mx＋2m＋6=0①的实数解组成的非空集合，A∩R－≠意味着方程①的根有：（1）两负根，（2）一负根一零根，（3）一负根一正根三种情况，分别求解较麻烦，上述三种情况虽可概括为方程①的较小根 ,
但在目前的知识范围内求解存在困难，如果考虑题设A∩R－≠的反面：A∩R－=，则可先求方程①的两根x1、x2均非负时m的取值范围．用补集思想求解尤为简便．
[解答与点评]
[例19] 命题甲：方程x2＋mx＋1=0有两个相异负根；命题乙：方程4x2＋4(m－2)x＋1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m的取值范围．
分析：
使命题甲成立的m的集合为A，使命题乙成立的m的集合为B，有且只有一个命题成立是求A∩CRB与CRA∩B的并集．
[解答与点评]
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